Question

8．已知拋物線l：y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、B（3，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x=1，如圖1．
（1）求拋物線l的解析式；
（2）將拋物線l向下平移d個(gè)單位長度，使平移后所的拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求d的取值范圍；
（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P是拋物線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在直線x=-3上，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBD是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值；
（2）先求得直線BC的解析式，然后求得當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，平移后拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4-d．拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部（包括△OBC的邊界），則0≤4-d≤2；
（3）過點(diǎn)P作PE⊥y軸，交直線x=-3與點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F．先證明△EPD≌△FBP，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到EP=FB．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），則PE=x+3，F(xiàn)B=|-x²+2x+3|，然后依據(jù)PE=FB可得到關(guān)于x的方程，然后可求得x的值，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵B（3，0），對(duì)稱軸為直線x=1，
∴A（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-3a=3，解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：3k+3=0，解得k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
當(dāng)x=1時(shí)，y=2．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴平移后拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4-d．
∵拋物線的頂點(diǎn)在△OBC的內(nèi)部（包括△OBC的邊界），
∴0≤4-d≤2，
∴2≤d≤4．

（3）如圖：過點(diǎn)P作PE⊥y軸，交直線x=-3與點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥PE，垂足為F．

∵△BPD是以P為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∴∠DPB=90°，DP=PB．
∴∠EPD+∠FPB=90°．
又∵∠EPD+∠EDP=90°，
∴∠FPB=∠EDP．
在△EPD和△FBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FPB=∠EDP}\\{∠PED=∠PFB}\\{DP=PB}\end{array}\right.$，
∴△EPD≌△FBP．
∴EP=FB．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），則PE=x+3，F(xiàn)B=|-x²+2x+3|，
∴x+3=|-x²+2x+3|．
∴x+3=-x²+2x+3或x+3=x²-2x-3．
解得：x=0或x=1或x=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$或x=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$．
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴P（0，3）．
當(dāng)x=1時(shí)，y=4．
∴P（1，4）．
當(dāng)x=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$時(shí)，y=$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$，
∴P（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$）．
當(dāng)x=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$時(shí)，y=$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$．
∴P（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，3）或P（1，4）或P（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-\sqrt{33}-9}{2}$）或P（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-9}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造全等三角形，利用PE=BF列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．