Question

3．已知在Rt△ABC中，BC=6，CD是斜邊AB上的中線，點G是△ABC的重心，將△ADC繞重點G旋轉(zhuǎn)，得到△A₁D₁C₁，并且C₁D₁∥AB，直線A₁D₁⊥AC，設直線A₁C₁、A₁D₁分別交AC于點E，F(xiàn)，那么EF的長為$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分兩種情形：①如圖1中，延長C₁D₁交AC于M．只要證明∠A=30°，求出AC、AB、CC₁、EC₁/、A₁E即可解決問題．②如圖2中，在Rt△EFD₁中，因為∠EFD₁=90°，ED₁=6，∠FED₁=30°，根據(jù)cos30°=$\frac{EF}{E{D}_{1}}$，即可計算．

解答 解：①如圖1中，延長C₁D₁交AC于M．

∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴∠DAC=∠DCA=∠A₁=∠A₁C₁M，
∵C₁M∥AB，
∴∠A=∠EMC₁=∠A₁C₁M，
∴∠A₁EF=∠EMG+∠EC₁M=2∠CMG=2∠A₁，
∵A₁D₁⊥AC，
∴∠A₁FE=90°，
∴∠A₁=30°，∠A₁EF=∠CEC₁=60°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°BC=6，
∴AB=2AC=12，AC=A₁C₁=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵GC₁∥DB，
∴$\frac{CG}{GD}$=$\frac{C{C}_{1}}{B{C}_{1}}$=2，
∴CC₁=4，
在Rt△ECC₁中，∵∠ECC₁=90°，∠CEC₁=60°，
∴sin60°=$\frac{C{C}_{1}}{E{C}_{1}}$，
∴EC₁=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴A₁E=6$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△A₁EF中，∵∠A₁FE=90°，∠A₁=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$A₁E=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

②如圖2中，

同理可證∠A=∠A₁=∠FEG=30°，
在Rt△EFD₁中，∵∠EFD₁=90°，ED₁=6，∠FED₁=30°，
∴cos30°=$\frac{EF}{E{D}_{1}}$，
∴EF=3$\sqrt{3}$，
綜上所述，EF的長為$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或3$\sqrt{3}$．
故答案為$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、三角形的重心、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)特殊角30°，注意學會分類討論，不能漏解，屬于中考填空題中的壓軸題．