Question

15．直線y=x+6交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，AC⊥AB交y軸于C，P為x軸正半軸上一點(diǎn)．
（1）求直線AC的解析式；
（2）過P作PM⊥BP交AC于M，求證：PM=PB；
（3）在（2）的條件下，過B任作直線BG，MG⊥BG于G，連接PG，∠PGM的度數(shù)是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而判斷出OB=OC，確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線AC解析式；
（2）作出輔助線，先判斷出四邊形AEPF是正方形嗎，進(jìn)而判斷出△PBE≌△PMF，即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況討論計(jì)算，先判斷出P、B、M、G四點(diǎn)共圓，用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可．

解答 （1）解：∵直線AB的解析式為y=x+6，
∴A（-6，0），B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵AC⊥AB，
∴∠OAC=90°-∠OAB=90°-45°=45°，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴OC=OA=6，
∴C（-6，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$
解得，k=-1，b=-6，
∴直線AC的解析式為y=-x-6；
（2）證明：如圖1，

作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F，
由（1）可知AO平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴PE=PF，四邊形AEPF是正方形，
∴∠EPF=90°，
∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，
∴∠BPE=∠MPF（同角的余角相等），
在△PBE和△PMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠PFM}\\{PE=PF}\\{∠BPE=∠MPF}\end{array}\right.$
∴△PBE≌△PMF（ASA），
∴PM=PB；

（3）解：∠PGM的度數(shù)不變，解答如下：
①如圖2，

當(dāng)G在PM的上方時，連接BM，
由（2）可知PM=PB，
∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，∠PBM=45°，
又∵M(jìn)G⊥BG，
∴∠BPM+∠BGM=180°，
∴P、B、G、M四點(diǎn)在以BM為直徑的圓上，
∴∠PGM=∠PBM，
∴∠PGM=45°；

②如圖3，

當(dāng)G在PM的下方時，連接BM，
由（2）可知PM=PB，
∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，∠PBM=45°，
又∵M(jìn)G⊥BG，
∴∠BPM=∠BGM=90°，
∴P、B、M、G四點(diǎn)在以BM為直徑的圓上，
∴∠PGM+∠PBM=180°，
∴∠PGM=180°-∠PBM=180°-45°=135°；
綜上所述，∠PGM的度數(shù)不變，
即：當(dāng)G在PM的上方時，∠PGM=45°；當(dāng)G在PM的下方時，∠PGM=135°．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，四點(diǎn)共圓，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷P、B、M、G四點(diǎn)共圓．