Question

1．在平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2$\sqrt{3}$，AD=10，點(diǎn)P在直線BC上，且滿足∠APD=90°，則∠APB的正切值為$\frac{1}{3}$或3．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，則∠AMP=∠DNP=90°，MN=AD=10，AM=DN，由平行四邊形的性質(zhì)和三角函數(shù)求出DN=AM=AB•sin60°=3，證明△PDN∽△APM，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出DN，即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：
作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，
則∠AMP=∠DNP=90°，MN=AD=10，AM=DN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，CD=AB=2$\sqrt{3}$，
∵∠ABC=60°，
∴DN=AM=AB•sin60°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∵∠APD=90°，DN⊥BC，
∴∠PDN=∠APB，
∴△PDN∽△APM，
∴$\frac{PN}{AM}=\frac{DN}{PM}$，
即$\frac{PN}{3}=\frac{3}{10-PN}$，
解得：PN=1，或PN=9，
當(dāng)PN=1時(shí)，tan∠APB=tan∠PDN=$\frac{PN}{DN}$=$\frac{1}{3}$；
當(dāng)PN=1時(shí)，tan∠APB=tan∠PDN=$\frac{PN}{DN}$=3；
故答案為：$\frac{1}{3}$或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似得出PN的長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．