Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．菱形OBCD的邊OB在x軸正半軸上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)該菱形對(duì)角線的交點(diǎn)A，且與邊BC交于點(diǎn)F，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，8），求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 首先過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥x于點(diǎn)E，由點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，8），可求得菱形OBCD的邊長(zhǎng)，又由點(diǎn)A是BD的中點(diǎn)，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{4}{3}$，可設(shè)EF=4a，BE=3a，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，繼而求得a的值，則可求得答案．

解答 解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥x于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，8），
∴OD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵四邊形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（8，4），
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)EF=4a，BE=3a，
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（10+3a，4a），
∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=$\frac{32}{x}$上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a²+10a-8=0，
解得：a₁=$\frac{2}{3}$，a₂=-4（舍去），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（12，$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線，求得反比例函數(shù)的解析式，得到tan∠FBE=tan∠DOM=$\frac{DM}{OM}$的值，從而得到方程4a（10+3a）=32是關(guān)鍵．