Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙PO交BC邊于點D，∠ABC的平分線分別于⊙O、AC相交于E、F兩點，過A作AG∥BC交CE的延長線于點G，CG⊥BC．
（1）求證：CG為⊙O的切線；
（2）若AB=10，CG=8，求

EF

BF

的值．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）如圖，連接OE，證明OE⊥CG即可解決問題；
（2）如圖，連接AD；利用有關定理首先求出

EF

FH

的值，再求出

BH

BE

的值，進而求出線段EF、FB之間的數量關系問題即可解決．

解答：解：（1）如圖1，連接OE；
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE；而OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEB=∠CBE；
∵CG⊥BC，
∴∠CEB+∠CBE=90°，
∴∠CEB+∠OEB=90°，
即OE⊥CG，
∴CG為⊙O的切線．
（2）如圖2，連接AD，交BE于點H；
∵CG⊥BC，AG∥BC，
∴∠GCB=90°；
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴四邊形ADCG為矩形，
∴AD=GC=8，
由勾股定理得：
BD²=AB²-AD²=100-64=36，
∴BD=6；
∵AG⊥CG，OE⊥CG，BC⊥CG，
∴AG∥OE∥BC，而OA=OB，
∴GE=CE=4；
∵CE為⊙O的切線，
∴CE²=（CB-6）CB（切割線定理），
解得：CB=8或-2（舍去）；
∵BE平分∠ABC，
∴

CF

AF

=

CB

AB

=

8

10

=

4

5

，

DH

AH

=

BD

AB

=

6

10

=

3

5

；
∵AD∥CE，
∴△CEF∽△AHF，△BCE∽△BDH；
∴

CE

AH

=

EF

FH

=

CF

AF

=

4

5

，
設CE=4m，則AH=5m，DH=3m；
∵△BCE∽△BDH，
∴

BH

BE

=

DH

CE

=

3m

4m

=

3

4

，
設BH=3x，則BE=4x，EH=x；
∵

EF

FH

=

4

5

，
∴EF=

4

9

x，BF=

5

9

x+x=

14

9

x，
∴

EF

BF

=

2

7

．

點評：該題以圓為載體，以切線的判定、圓周角定理的推論、勾股定理等重要幾何知識點的考查為核心構造而成；解題的關鍵是靈活運用有關知識點來分析、判斷、推理或解答．