Question

直線y=

3

x+

3

與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，以線段AB為一邊在第二象限內作等邊△ABC．
（1）求點C的坐標；
（2）設線段CD是△ABC的角平分線，求線段CD的解析式與定義域．

Answer 1

考點：待定系數法求一次函數解析式,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）根據函數的關系式我們可求出A，B兩點的坐標為（-1，0），（0，

3

），OA=1，OB=

3

，因此∠ABO=30°，因為三角形CAB是個等邊三角形，因此∠CAB=60°，那么CB⊥OB，C點的縱坐標就是B點的縱坐標，如果求出CB的長那么就能求出C點的坐標了，根據BC=AB，有OA、OB的長，根據勾股定理我們可求出AB的長，也就求出BC的長，那么C點的坐標就求出來了．
（2）根據等邊三角形角平分線的性質，可知CD⊥AB，根據直線y=

3

x+

3

即可得出直線CD的斜率，設直線CD為y=-

3

3

x+b，代入C的坐標即可求得線段CD的解析式；

解答：解：（1）根據直線的函數關系式，我們可得出A點的坐標為（-1，0），B點的坐標為（0，

3

），
那么OA=1，OB=

3

，直角三角形ABO中，AB=

OA2+OB2

=2，∠ABO=30°，
根據三角形ABC是個等邊三角形，因此∠CBA=60°．∠CBO=∠CBA+∠ABO=90°，
因此C點的縱坐標應該和A點相同，
∵AC=AB=BC，
∴BC=AB=2，
那么C點的坐標為（-2，2）．

（2）∵線段CD是△ABC的角平分線，
∴直線CD垂直平分AB，
∴設這條直線CD為y=-

3

3

x+b，
將C點的坐標代入這條直線中得：-

3

3

×（-2）+b=2，b=

6-2 3

3

，
因此這條線段CD的解析式是y=-

3

3

x+

6-2 3

3

（-2≤x≤-

1

2

）；

點評：本題綜合考查了一次函數和直角三角形的應用，本題中利用直角三角形來求線段的長，從而得出點的坐標是解題的基本思路．