Question

15．如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC，交⊙O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BD，BD交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，連接PB．
（1）若PF=PB，求證：PB是⊙O的切線；
（2）如果AB=10，BC=6，求CE的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊對(duì)等角以及對(duì)頂角相等可以證得∠DFE=∠PBF，∠D=∠DBO，然后根據(jù)圓周角定理證明△DEF是直角三角形，據(jù)此即可證得∠PBA=90°，從而證明PB是切線；
（2）根據(jù)三角形的中位線定理求得OE的長(zhǎng)，然后根據(jù)垂徑定理即可求解．

解答 （1）證明：∵PF=PB，
∴∠PFB=∠PBF，
又∵∠DFE=∠PFB，
∴∠DFE=∠PBF，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．
又∵OD∥BC，
∴OD⊥AC．
∴在直角△DEF中，∠D+∠DFE=90°，
又∵OD=OB，
∴∠D=∠DBO，
∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB⊥AB，
∴PB是⊙O的切線；
（2）解：∵OD∥BC，OA=OB，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3．
∵OD⊥AB，
∴EC=AE．
∵在直角△OAE中，OA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×10=5，
∴AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{3}}$=4．
∴EC=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理、垂徑定理以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)，本題中證明OD⊥AC是關(guān)鍵．