Question

2．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE是⊙O的直徑，若S_△ABC=S，⊙O的半徑為R．求證：
（1）AB•AC=AD•AE；
（2）AB•AC•BC=4RS．

Answer 1

分析 （1）首先連接BE，由AD是⊙O的內(nèi)接△ABC的高，AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=∠ADC=90°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，可得∠E=∠C，即可證得△ABE∽△ADC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得AB•AC=AD•AE；
（2）由于S_△ABC=S=$\frac{1}{2}$BC•AD，推出BC=$\frac{2S}{AD}$，根據(jù)AE=2R，AB•AC=AD•AE，代入AB•AC•BC，即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接BE，
∵AD是⊙O的內(nèi)接△ABC的高，AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE；

（2）∵S_△ABC=S=$\frac{1}{2}$BC•AD，
∴BC=$\frac{2S}{AD}$，
∵AE=2R，AB•AC=AD•AE，
∴AB•AC•BC=AD•AE•BC=AD•2R•$\frac{2S}{AD}$=4RS．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，三角形面積公式，連接BE構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．