Question

10．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD，BC的延長線交于點F，DC，AB的延長線交于點E，∠E，∠F的平分線交于點H．求證：EH⊥FH．

Answer 1

分析 連接EF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠CFE+∠CEF+∠FCE=180°，根據(jù)已知條件得到∠BAD+∠FCE=180°，由角平分線的性質(zhì)得到∠CFH=$\frac{1}{2}$∠CFA，∠HEC=$\frac{1}{2}$∠BED，在△AEF中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和推出∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE=90°，在△HEF中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和推出∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE+∠H=180°，即可得到結(jié)論．

解答 解：連接EF，則∠CFE+∠CEF+∠FCE=180°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠FCE=∠BCD，
∴∠BAD+∠FCE=180°，
∵∠E，∠F的平分線交于點H，
∴∠CFH=$\frac{1}{2}$∠CFA，∠HEC=$\frac{1}{2}$∠BED，
在△AEF中，
∵∠A+∠CFA+∠CFE+∠CEF+∠BED=180°，
∴∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE=90°，
在△HEF中，
∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE+∠H=180°，
∴∠H=90°，
∴EH⊥FH．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和，多邊形的內(nèi)角和外角，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．