Question

13．如圖1．己知AB∥CD，BP、DP分別平分∠ABD、∠BDC．
（1）∠BPD=90°；
（2）如圖②，將BD改為折線BED，BP、DP分別平分∠ABE、∠EDC，其余條件不變，若∠BED=120°，求∠BPD的度數(shù)：并進一步猜想∠BPD與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，若∠BMN=132°，∠MND=144°，BP、DP分別平分∠ABM、∠CDN，那么∠BPD=48°．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABD+∠BDC=∠180°，再根據(jù)角平分線的定義得出∠PBD+∠PDB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（2）連接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠ABD+∠CDB的度數(shù)，由角平分線的性質(zhì)得出∠PBE+∠PDE的度數(shù)，根據(jù)∠BPD=180°-∠PBE-PDE-∠EBD-∠EDB即可得出結(jié)論．
（3）連接BD，先求出∠MBD+∠NDB的度數(shù)，再求出∠PBM+∠PDN的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=∠180°，
∵BP、DP分別平分∠ABD、∠BDC，
∴∠PBD+∠PDB=90°，
∴∠BPD=180°-90°=90°．
故答案為：90；
（2）連接BD，
∵∠BED=120°，
∴∠EBD+∠EDB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∵BP、DP分別平分∠ABE、∠EDC，
∴∠PBE=$\frac{1}{2}$∠ABE，∠PDE=$\frac{1}{2}$∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE=$\frac{1}{2}$（180°-60°）=60°，
∴∠BPD=180°-∠PBE-PDE-∠EBD-∠EDB=60°．
猜想：∠BPD=$\frac{1}{2}$∠BED．
（3）連接BD，
∵∠BMN=132°，∠MND=144°，
∴∠MBD+∠NDB=360°-（132°+144°）=84°，
∵BP、DP分別平分∠ABM、∠NDC，
∴∠PBM=$\frac{1}{2}$∠ABM，∠PDN=$\frac{1}{2}$∠CDN，
∴∠PBM+∠PDN=$\frac{1}{2}$（180°-84°）=48°，
∴∠BPD=180°-（∠MBD+∠NDB）-（∠PBM+∠PDN）=48°．
故答案為48°．

點評 本題考查的是平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形、四邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是這些知識的靈活應(yīng)用，學(xué)會添加輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形，屬于中考常考題型．