Question

15．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，且AB=2$\sqrt{2}$，DE=2-$\sqrt{2}$．
（1）求⊙O的直徑．
（2）過點B作⊙O的切線BF，交CD的延長線于點F，求OF的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，再利用勾股定理得[r-（2-$\sqrt{2}$）]²+（$\sqrt{2}$）²=r²，然后解方程求出r即可得到⊙O的直徑；
（2）先利用切線的性質(zhì)得到∠OBF=90°，再證明Rt△OBE∽Rt△OFB，然后利用相似比可計算出OF的長．

解答 解：（1）連結(jié)OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB⊥CD，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
在Rt△OBE中，∵OE=r-（2-$\sqrt{2}$），OB=r，BE=$\sqrt{2}$，
∴[r-（2-$\sqrt{2}$）]²+（$\sqrt{2}$）²=r²，解得r=2，
∴⊙O的直徑為4；
（2）∵BF為切線，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF=90°，
∵∠BOE=∠FOB，
∴Rt△OBE∽Rt△OFB，
∴$\frac{OB}{OF}$=$\frac{OE}{OB}$，即$\frac{2}{OF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OF=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決（1）小題的關(guān)鍵是利用勾股定理建立關(guān)于r的方程求r．