Question

15．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）仔細觀察，在圖2中有3個以線段AC為邊的“8字形”；
（2）在圖2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度數(shù)．
（3）在圖2中，若設(shè)∠C=α，∠B=β，∠CAP=$\frac{1}{3}$∠CAB，∠CDP=$\frac{1}{3}$∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用α、β表示∠P），并說明理由；
（4）如圖3，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°．

Answer 1

分析 （1）以M為交點的“8字形”有1個，以O(shè)為交點的“8字形”有2個；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B=96°代入計算即可；
（3）與（2）的證明方法一樣得到∠P=$\frac{1}{3}$（2∠C+∠B）．
（4）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得答案．

解答 解：（1）在圖2中有3個以線段AC為邊的“8字形”，
故答案為3；

（2）∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，
∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=∠P-∠B，
即∠P=$\frac{1}{2}$（∠C+∠B），
∵∠C=100°，∠B=96°
∴∠P=$\frac{1}{2}$（100°+96°）=98°；

（3）∠P=$\frac{1}{3}$（β+2α）；
理由：∵∠CAP=$\frac{1}{3}$∠CAB，∠CDP=$\frac{1}{3}$∠CDB，
∴∠BAP=$\frac{2}{3}$∠BAC，∠BDP=$\frac{2}{3}$∠BDC，
∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，
∴∠C-∠P=$\frac{1}{3}$∠BDC-$\frac{1}{3}$∠BAC，∠P-∠B=$\frac{2}{3}$∠BDC-$\frac{2}{3}$∠BAC，
∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，
∴∠P=$\frac{1}{3}$（∠B+2∠C），
∵∠C=α，∠B=β，
∴∠P=$\frac{1}{3}$（β+2α）；

（4）∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案為：360°．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，以及多邊形內(nèi)角和．也考查了角平分線的定義，關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．