Question

6．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，頂點為點D，對稱軸l與直線BC相交于點E，與x軸相交于點F．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設(shè)點P為該拋物線上的一個動點，以點P為圓心，r為半徑作⊙P．
①當(dāng)點P運動到點D時，若⊙P與直線BC相交，求r的取值范圍；
②若r=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，是否存在點P使⊙P與直線BC相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0的求得y=3，可得到點C的坐標，令y=0得到關(guān)于x的一元二次方程可求得x的值，從而得到點B的坐標，然后依據(jù)頂點系數(shù)法可求得BC的解析式；
（2）先求得拋物線的頂點D的坐標，然后再求得點E的坐標，從而得到DE的長，然后依據(jù)面積法求得點D到BC的距離，然后由d＜r時，直線與圓相交可求得r的取值范圍；
（3）由（2）可知DE=r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，然后分別過點D、點F作BC的平行線，交拋物線與點P₁、P₂、P₃，然后先求得直線DP₁、P₂P₃的解析式，最后求得直線與拋物線的交點坐標即可．

解答 解：（1）∵當(dāng)x=0時，y=3，
∴C（0，3）．
∵當(dāng)y=0時，$-\frac{1}{4}$x²+x+3=0，解得：x₁=-2，x₂=6，
∴B（6，0）．
設(shè)BC的解析式為y=kx+b．
∵將B（6，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=3，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3．
（2）如圖1所示：連接CD、BD，過點D作DG⊥BC，垂足為G．

∵OC=3，OB=6，
∴BC=3$\sqrt{5}$．
∵$y=-\frac{1}{4}{x^2}+x+3$=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+4，
∴D（2，4）．
∵將x=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得，y=2，
∴E（2，2）．
∴DE=2．
∵△BCD的面積=$\frac{1}{2}$DE•OB=$\frac{1}{2}$BC•DG，
∴2×6=3$\sqrt{5}$DG，解得：DG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴當(dāng)r＞$\frac{4\sqrt{5}}{5}$時，直線BC與圓P相交．
②∵$r=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，DG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DG=r．
∴當(dāng)點P的坐標為（2，4）時，⊙P與直線BC相切．
如圖2所示，過點D作DP₁∥BC，過點F作FP₂∥BC，直線P₂F交拋物線與點P₃．

設(shè)直線DP₁的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b．
∵將D（2，4）代入得：-$\frac{1}{2}$×2+b=4，解得：b=5，
∴直線DP₁的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5．
將y=-$\frac{1}{2}$x+5與y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3聯(lián)立得：-$\frac{1}{4}$x²+x+3=-$\frac{1}{2}$x+5，解得：x₁=2，x₂=4，
∵將x=4代入，y=-$\frac{1}{2}$x+5得：y=-$\frac{1}{2}$×4+5=-2+5=3，
∴P₁（4，3）．
∵DP₁∥BC，F(xiàn)P₂∥BC，DE=EF，
∴點P₂、P₃到直線BC的距離=r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
設(shè)直線FP₂的解析式為y=$-\frac{1}{2}$x+b₁．
∵將點F的坐標代入得：-$\frac{1}{2}$×2+b₁=0，解得：b₁=1，
∴直線FP₂得解析式為y=-$\frac{1}{2}x$+1．
將y=-$\frac{1}{2}x$+1與y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3聯(lián)立得：-$\frac{1}{4}$x²+x+3=-$\frac{1}{2}$x+1，解得：x₁=3+$\sqrt{17}$，x₂=3-$\sqrt{17}$，
∵將x=3+$\sqrt{17}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+1得：y=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴P₂（3+$\sqrt{17}$，-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{17}}{2}$）．
∵將x=3-$\sqrt{17}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+1得：y=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴P₃（3-$\sqrt{17}$，-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{17}}{2}$）．
綜上所述點P的坐標為（2，4）或（4，3）或（3+$\sqrt{17}$，-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{17}}{2}$）或（3-$\sqrt{17}$，-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{17}}{2}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了函數(shù)圖象上的點坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式、直線和圓的位置關(guān)系，求得直線DP₁、P₂P₃的解析式是解題的關(guān)鍵．