Question

3．已知拋物線y=a（x+3）（x-1）交x軸于點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-4，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合）．

（1）求a的值；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D1中探究：當(dāng)∠PAB=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，作射線AP，BP，分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D、F．問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD+CF是否為定值？若存在，試求出這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解方程a（x+3）（x-1）=0可得到A、B的坐標(biāo)，從而得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4），然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求出a的值；
（2）利用拋物線解析式得到拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），利用∠PAB=45°可判定點(diǎn)P為拋物線與y軸的交點(diǎn)，于是得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）；
（3）作PH⊥x軸于H，如圖，設(shè)P（t，t²+2t-3），證明△ACD∽△AHP，利用相似比得到CD=-2（t-1）=2-2t，再證明△BHP∽△BCF，利用相似比得到CF=2（t+3）=6+2t，上，CD+CF=8．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，a（x+3）（x-1）=0，解得x₁=-3，x₂=1，
則A（-3，0），B（1，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，a•2•（-2）=-4，解得a=1；

（2）拋物線解析式為y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+2x-3=-3，則拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
∵∠PAB=45°，
∴點(diǎn)P為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）；

（3）CD+CF為定值．
作PH⊥x軸于H，如圖，
設(shè)P（t，t²+2t-3），
∵CD∥PH，
∴△ACD∽△AHP，
∴$\frac{AC}{AH}$=$\frac{CD}{PH}$，即$\frac{2}{t+3}$=$\frac{CD}{-（{t}^{2}+2t-3）}$，
∴CD=-2（t-1）=2-2t，
∵PH∥CF，
∴△BHP∽△BCF，
∴$\frac{PH}{CF}$=$\frac{BH}{BC}$，即$\frac{-（{t}^{2}+2t-3）}{CF}$=$\frac{1-t}{2}$，
∴CF=2（t+3）=6+2t，
∴CD+CF=2-2t+6+2t=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，會(huì)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；會(huì)利用相似比表示線段之間的關(guān)系．