Question

4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D在OC的延長線上，且∠B=∠D=30°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AB=6$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OA，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠AOC=2∠B=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠OAD=90°，從而可根據(jù)切線的判定定理得到AD是⊙O的切線；
（2）根據(jù)垂徑定理，由OC⊥AB得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，然后在Rt△OAE中利用∠AOE的正弦可計(jì)算出OA的長．

解答 （1）證明：連接OA，如圖，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
而∠D=30°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠D=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線；
（2）∵OC⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
在Rt△OAE中，∵sin∠AOE=$\frac{AE}{AO}$，
∴OA=$\frac{3\sqrt{3}}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，
即⊙O的半徑為6．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理和解直角三角形．