Question

11．如圖，矩形ABCD的兩個頂點A，B在坐標軸上，AD：AB=1：2，且A（-2，0），∠BAO=60°，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象恰好經過該矩形的頂點，則k=-2-$\sqrt{3}$或-6-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過點D作DE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，再由A（-2，0），∠BAO=60°可知∠ABO=30°，故可得出AB的長，再由AD：AB=1：2求出AD的長，根據直角三角形的性質求出AE及DE的長可得出D點坐標，同理可得出C點坐標，再分函數的圖象過C點與過D點兩種情況討論即可．

解答 解：過點D作DE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，
∵A（-2，0），∠BAO=60°，
∴OA=2，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
∵AD：AB=1：2，
∴AD=2．
∵∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=1，AE=AD•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴D（-2-$\sqrt{3}$，1）；
在Rt△BCF中，
∵∠CBF+∠ABO=90°，
∴∠CBF=60°，
∴BF=BC•cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，CF=BC•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴C（-$\sqrt{3}$，1+2$\sqrt{3}$），
∴當反比例函數經過C點時，k=-$\sqrt{3}$×（1+2$\sqrt{3}$）=-6-$\sqrt{3}$；當反比例函數經過D點時，k=-2-$\sqrt{3}$．
故答案為：-2-$\sqrt{3}$或-6-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．