Question

如圖，矩形ABCD中，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于點(diǎn)P，聯(lián)結(jié)CP，如果AB﹦8，AD﹦4，求sin∠DCP的值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：

分析：過點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，根據(jù)已知得出∠DAP=∠ADP=∠CDP=45°，在Rt△APD中通過正弦函數(shù)值求得DP，然后在Rt△DEP中根據(jù)正弦函數(shù)值求得PE、DE，進(jìn)而求得CE，在Rt△DEP中，根據(jù)勾股定理求得PC，進(jìn)而即可求得sin∠DCP的值．

解答：解：過點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，∠DAB=∠ADC=90°．
∵AP是∠DAB的角平分線，
∴∠DAP=

1

2

∠DAB=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°．
∴∠ADP=45°．
∴∠CDP=45°．
在Rt△APD中，AD=4，
∴DP=AD•sin∠DAP=2

2

，
在Rt△DEP中，∠DEP=90°，
∴PE=DP•sin∠CDP=2，DE=DP•cos∠CDP=2．
∴CE=CD-DE=6，
在Rt△DEP中，∠CEP=90°，PC=

CE2+PE2

=2

10

，
∴sin∠DCP=

PE

PC

=

10

10

．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形函數(shù)以及勾股定理，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵．