Question

6．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，D是$\widehat{AC}$上一點(diǎn)，且BD-AD=$\sqrt{2}$，則弦CD的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 如圖，在BD上取一點(diǎn)E，使得∠DCE=90°．首先證明△ACE≌△BCE，△DEC是等腰直角三角形，由此推出BD-AD=$\sqrt{2}$CD，結(jié)合條件即可解決問題．

解答 解：如圖，在BD上取一點(diǎn)E，使得∠DCE=90°．

∵AB是直徑，∠CAD=∠CBE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCA=∠BCE}\\{AC=BC}\\{∠CAD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∵∠CDE=∠CAB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
∴BD-AD=BD-BE=DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$，
∴CD=1，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．