Question

18．在平面直角坐標系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），把△ABO繞點B逆時針旋轉，得△A′BO′，點A、O旋轉后的對應點為A′、O′，記旋轉角為ɑ．
（1）如圖1，若ɑ=90°，求AA′的長；
（2）如圖2，若ɑ=120°，求點O′的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理得AB=5，由旋轉性質可得∠A′BA=90°，A′B=AB=5．繼而得出AA′=5$\sqrt{2}$；
（2）O′C⊥y軸，由旋轉是性質可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3，在Rt△O′CB中，由∠O′BC=60°得BC、O′C的長，繼而得出答案．

解答 解：（1）∵點A（4，0），點B（0，3），
∴OA=4，OB=3．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=5．
根據(jù)題意，△A′BO′是△ABO繞點B逆時針旋轉90⁰得到的，
由旋轉是性質可得：∠A′BA=90°，A′B=AB=5，
∴AA′=5$\sqrt{2}$．

（2）如圖，根據(jù)題意，由旋轉是性質可得：∠O′BO=120°，O′B=OB=3
過點O′作O′C⊥y軸，垂足為C，

則∠O′CB=90°．
在Rt△O′CB中，由∠O′BC=60°，∠BO′C=30°．
∴BC=$\frac{1}{2}$O′B=$\frac{3}{2}$．
由勾股定理O′C=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OC=OB+BC=$\frac{9}{2}$．
∴點O′的坐標為（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{9}{2}$）．

點評 本題主要考查旋轉的性質及勾股定理，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．