Question

2．如圖1，有兩個(gè)全等的正三角形ABC和ODE，點(diǎn)O、C分別為△ABC、△ODE的重心；固定點(diǎn)O，將△ODE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得OD經(jīng)過點(diǎn)C，如圖2所示，則圖2中四邊形OGCF與△OCH面積的比為（　�。�

• A． 1：1
• B． 2：1
• C． 4：1
• D． 4：3

Answer 1

分析 設(shè)正三角形的邊長是x，則圖1中四邊形OGCF是一個(gè)內(nèi)角是60°的菱形，圖2中△OCH是一個(gè)角是30°的直角三角形，分別求得兩個(gè)圖形的面積，即可求解．

解答 解：設(shè)正三角形的邊長是x，則高長是$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
如圖1，

四邊形OGCF是一個(gè)內(nèi)角是60°的菱形，OC=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
另一條對(duì)角線長是：FG=2GH=2×$\frac{1}{2}$OC•tan30°=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•tan30°=$\frac{1}{3}$x．
則四邊形OGCF的面積是：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{18}{x}^{2}$；
圖2中，OC=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
△OCH是一個(gè)角是30°的直角三角形．
則△OCH的面積=$\frac{1}{2}$OC•sin30°•OC•cos30°=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}{x}^{2}$．
四邊形OGCF與△OCH面積的比為：$\frac{\sqrt{3}}{18}{x}^{2}$：$\frac{\sqrt{3}}{24}\\;{x}^{2}$=4：3．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面積的計(jì)算，正確計(jì)算兩個(gè)圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵．