Question

4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-（x+1）²+4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）寫出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（-1，4）；
（2）點(diǎn)D₁是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，判斷點(diǎn)D₁是否在直線AC上，并說明理由；
（3）若點(diǎn)E是拋物線上的點(diǎn)，且在直線AC的上方，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交線段AC于點(diǎn)F，求線段EF的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)解析式y(tǒng)=-（x+1）²+4，即可求出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，4）；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式y(tǒng)=-（x+1）²+4，求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出D₁（1，4），然后代入直線AC的解析式即可判斷點(diǎn)D₁在直線AC上；
（3）設(shè)點(diǎn)E（x，-x²-2x+3），則F（x，x+3），求出EF=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x，利用配方法化成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值．

解答 解：（1）∵y=-（x+1）²+4，
∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，4）．
故答案為（-1，4）；

（2）點(diǎn)D₁在直線AC上，理由如下：
∵拋物線y=-（x+1）²+4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，
∴當(dāng)y=0時(shí)，-（x+1）²+4=0，解得x=1或-3，A（-3，0），B（1，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-1+4=3，C（0，3）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+3．
∵點(diǎn)D₁是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，D（-1，4）．
∴D₁（1，4），
∵x=1時(shí)，y=1+3=4，
∴點(diǎn)D₁在直線AC上；

（3）設(shè)點(diǎn)E（x，-x²-2x+3），則F（x，x+3），
∵EF=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x=-（x+1.5）²+2.25，
∴線段EF的最大值是2.25．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，難度適中．