Question

12．探索題：圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖b的形狀拼成一個正方形．

（1）請用兩種不同的方法，求圖b中陰影部分的面積：方法1：（m-n）²； 方法2：（m+n）²-4mn；
（2）觀察圖b，寫出代數(shù)式（m+n）²，（m-n）²，mn之間的等量關(guān)系，并通過計算驗證；
（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若2a+b=5，ab=2，求（2a-b）²的值．

Answer 1

分析 （1）觀察得到長為m，寬為n的長方形的長寬之差即為陰影部分的正方形的邊長，可以直接利用正方形的面積公式得到陰影部分面積；也可以用大正方形的面積減去4個長方形的面積得到圖b中的陰影部分的正方形面積；
（2）利用（1）中圖b中的陰影部分的正方形面積，得到（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得到（2a-b）²=（2a+b）²-8ab，然后把2a+b=5，ab=2代入計算即可．

解答 解：（1）方法1：圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于長為m，寬為n的長方形的長寬之差，即m-n，故陰影部分面積為（m-n）²；
方法2：圖b中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個長方形的面積，即（m+n）²-4mn；
故答案為：（m-n）²，（m+n）²-4mn；

（2）（m-n）²=（m+n）²-4mn；
驗證：∵（m-n）²=m²-2mn+n²，
（m+n）²-4mn=m²+2mn+n²-4mn=m²-2mn+n²，
∴（m-n）²=m²-2mn+n²；

（3）∵（2a-b）²=（2a+b）²-8ab，
∴當(dāng)2a+b=5，ab=2時，（2a-b）²=5²-8×2=9．

點評 本題考查了完全平方公式的幾何背景：利用幾何圖形之間的面積關(guān)系得到完全平方公式．解決問題的關(guān)鍵是利用整體代入的方法求代數(shù)式的值．