Question

6．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)：圖形的變化
問題情境：如圖（1），△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與A，C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD=90°，連接BE，AD．猜想線段BE，AD之間的關(guān)系．
（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)直接寫出線段BE，AD之間的關(guān)系；
（2）合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖（1）中的等腰直角△ECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖（2）的位置，BE交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O．（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展延伸：“科技”小組將（2）中的等腰直角△ABC改為Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，將等腰直角△ECD改為Rt△ECD，∠ECD=90°，CD=4，CE=3．試猜想BD²+AE²是否為定值，結(jié)合圖（3）說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，得到的結(jié)論，直接判斷出△BCE≌△ACD，再用互余判斷出垂直；
（2）由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，得到的結(jié)論，直接判斷出△BCE≌△ACD，再用互余判斷出垂直；
（3）由條件用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等判斷出△BCE∽△ACD，再用勾股定理簡單的計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=90°，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠CEB=∠CDA，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠CDA=90°，
∴BE⊥AD，
（2）BE=CD，BE⊥AD，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°
∴AC=BC，
∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD=90°，
∴CD=CE，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AHO=90°，
∴BE⊥AD；
即：BE=AD，BE⊥AD；

（3）是定值，
理由：∵∠ECD=90°，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB+ACE=∠ECD+∠ACE=90°，
∴∠BCE=ACD，
∵AC=8，BC=6，CD=4，CE=3，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BE⊥AD，
∴∠BOD=∠AOB=90°，
∴BD²=OB²+OD²，AE²=OA²+OE²，AB²=OA²+OB²，DE²=OE²+OD²，
∴BD²+AE²=OB²+OD²+OA²+OE²=AB²+DE²，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB²=100，
在Rt△ECD中，∠ECD=90°，CD=4，CE=3，
∴DE²=25，
∴BD²+AE²=AB²+DE²=125．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷三角形全等和相似，難點(diǎn)是用勾股定理的 計(jì)算定值．