Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，其中點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)D為對(duì)角線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），∠BCD的平分線交OB于點(diǎn)E．
（1）求線段OB所在直線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出CD的取值范圍．
（2）當(dāng)∠BCD的平分線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求CD十DP的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)線段OB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，把B（4，2）代入求出k即可解決問題．
（2）如圖1中，延長(zhǎng)CD交OA于點(diǎn)F，設(shè)AF=CF=m，則OF=4-m，由OF²+OC²=CF²，列出方程求出m，求出直線CF的解析式，解方程組即可解決問題．
（3）如圖2中，作點(diǎn)C關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足為P，則點(diǎn)P、D就是所求的點(diǎn)，此時(shí)DC+DP=DF+PD=FP最短，求出點(diǎn)F坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)線段OB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx，
把B（4，2）代入，得2=4k，解得k=$\frac{1}{2}$，
∴線段OB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{1}{2}$x．
CD的范圍：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$≤CD＜4．

（2）如圖1中，延長(zhǎng)CD交OA于點(diǎn)F，

∵∠ACF=∠ACB=∠CAF，
∴AF=CF，設(shè)AF=CF=m，則OF=4-m，
∵OF²+OC²=CF²，
∴（4-m）²+2²=m²，解得m=$\frac{5}{2}$，
∴OF=$\frac{3}{2}$
∴直線CF的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{4}{3}x+2}\end{array}\right.$解得，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（$\frac{12}{11}$，$\frac{6}{11}$）．

（3）如圖2中，作點(diǎn)C關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足為P，則點(diǎn)P、D就是所求的點(diǎn)，此時(shí)DC+DP=DF+PD=FP最短（垂線段最短）．

∵直線OB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，CF⊥OB，
∴可以設(shè)直線CF的解析式為y=-2x+b，把C（0，2）代入得b=2，
∴直線CF解析式為y=-2x+2，設(shè)直線CF交OB于點(diǎn)E，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$），
∵C、F關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
∴CD+PD最小值=PF=2+$\frac{6}{5}$=$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法勾股定理、最小值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建函數(shù)，利用方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，想到利用垂線段最短解決最小值問題，屬于中考?jí)狠S題．