Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC，點A（0，2），C（5，0），D（-2，1），⊙D的半徑是1．
（1）點B的坐標是（5，2）；
（2）以垂直于x軸的直線x=a為折痕折疊矩形紙片OABC，邊BC的對應邊為B₁C₁．當B₁C₁與⊙D相切時，求a的值；
（3）點M在邊OC上（端點除外），以AM為折痕折疊矩形紙片OABC，邊BC的對應邊為B₂C₂．
①作⊙D的切線AE，AF，切點分別為E，F，求△AEF的面積；
②當⊙D被四邊形AMC₂B₂部分覆蓋時，設直線AB₂的解析式是y=kx+2，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點A和點C的坐標可其肚餓AO、OC的長，由矩形的性質可得到AB、BC的長，從而可得到點B的坐標；
（2）當BC為⊙D相切時，點C₁的坐標為（-1，0）或（-3，0），然后依折疊的性質可得到關于a的方程，從而可求得a的值；
（3）①如圖1所示：連接EF、AD、DE、DF，EF與AD的交點記為H．由題意可知AE=2，DE=1，由勾股定理可求得AD的長，依據射影定理可求得AH的長，然后在Rt△EHA中，依據勾股定理可求得HE的長，從而得到EF的長，最后依據三角形的面積公式求解即可；②過點F作FG⊥AE，垂足為G，利用面積法可求得FG的長，然后依據勾股定理可求得AG的長，從而得到點F的坐標，將點F的坐標代入一次函數的解析式可求得k的值，依據四邊形恰好完全覆蓋⊙D和⊙D與四邊形AMC₂B₂的恰好不重合時k的取值可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）∵點A（0，2），C（5，0），
∴OA=2，OC=5．
∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=2，AB=OC=5．
∴點B的坐標為（5，2）．
故答案為：（5，2）．
（2）∵⊙D的半徑是1，且點D的坐標為（-2，1），
∴當BC為⊙D相切時，點C₁的坐標為（-1，0）或（-3，0）．
由折疊的性質可知：當點C₁的坐標為（-1，0）時，5-a=a-（-1），解得：a=2；
當點C₁的坐標為（-3，0）時，5-a=a-（-3），解得：a=1．
所以當B₁C₁與⊙D相切時，a的值為1或2．
（3）①如圖1所示：連接EF、AD、DE、DF，EF與AD的交點記為H．

∵A（0，2），D（-2，1），⊙D的半徑是1，
∴AE=2，ED=1．
∵AE、AF為⊙D的切線，
∴AE=AF，DE⊥AE，DF⊥AF．
∵DE=DF，AE=AF，
∴AD是EF的垂直平分線．
在Rt△EDA中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵在Rt△EDA中，EH⊥AD，依據射影定理可知：AE²=AD•AH，
∴AH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
在Rt△EHA中，HE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴EF=2EH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴△AEF的面積=$\frac{1}{2}$EF•AH=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{8}{5}$．
②如圖2所示：過點F作FG⊥AE，垂足為G．

∵由①可知AE=2，S_△AEF=$\frac{8}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$AE•GF=$\frac{8}{5}$，即$\frac{1}{2}$×2•GF=$\frac{8}{5}$，解得FG=$\frac{8}{5}$．
在△AGF中，由勾股定理可知AG=$\sqrt{A{F}^{2}-G{F}^{2}}$=$\frac{6}{5}$．
∴OA-GF=$\frac{2}{5}$．
∴點F的坐標為（-$\frac{6}{5}$，$\frac{2}{5}$）．
將點F的坐標代入一次函數的解析式得：-$\frac{6}{5}$k+2=$\frac{2}{5}$．
解得k=$\frac{4}{3}$．
∴當直線AB₂與AF重合時，即k=$\frac{4}{3}$時，⊙D與四邊形AMC₂B₂的恰好不重合；
當直線AB₂與AE重合時，即k=0時，⊙D恰好全部被四邊形AMC₂B₂覆蓋．
綜上所述可知當0＜k＜$\frac{4}{3}$時，⊙D被四邊形AMC₂B₂部分覆蓋．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了切線的性質、切線長定理、勾股定理、待定系數法求一次函數的解析式、射影定理，三角形的面積公式，求得四邊形恰好完全覆蓋⊙D和⊙D與四邊形AMC₂B₂的恰好不重合時k的值是解題的關鍵．