Question

3．如圖，己知MN是⊙O的直徑，P為⊙O上一點，NP平分∠MNQ，且NQ⊥PQ．
（1）求證：直線PQ是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑R=2，NP=2$\sqrt{3}$，求NQ的長．

Answer 1

分析 （1）連接OP，PM，由角平分線的定義得到∠QNP=∠PNM，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OPN=∠ONP，等量代換得到∠OPN=∠QNP，根據(jù)平行線的判定定理得到OP∥NQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OP⊥PQ，即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)PM，根據(jù)圓周角定理由MN是⊙O的直徑得到∠MPN=90°，易證得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可計算出NQ的長．

解答 （1）證明：連接OP，PM，
∵NP平分∠MNQ，
∴∠QNP=∠PNM，
∵OP=ON，
∴∠OPN=∠ONP，
∴∠OPN=∠QNP，
∴OP∥NQ，
∵NQ⊥PQ，
∴OP⊥PQ，
∴直線PQ是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)PM，如圖，
∵MN是⊙O的直徑，
∴∠MPN=90°，
∵NQ⊥PQ，
∴∠PQN=90°，
而∠MNP=∠QNP，
∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，
∴$\frac{NP}{NQ}=\frac{MN}{NP}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{NQ}$=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$，
∴NQ=3．

點評 本題考查了切線的判定，角平分線的定義，平行線 的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握的作出正方形是解題的關(guān)鍵．