Question

14．如圖，已知⊙O的直徑AB=10cm，C是⊙O上的一點(diǎn)，作CD⊥AB于點(diǎn)D，以C為頂點(diǎn)作∠PCA=∠ACD，交BA的延長線于點(diǎn)P，
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若∠P=45°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，證得OC⊥PC即可；
（2）求得△OPC是等腰直角三角形，然后根據(jù)S_陰影=S_△OPC-S_扇形OAC即可求得．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠OAC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠PCA=∠ACD，
∴∠PCA+∠OCA=90°，
即OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）∵OC⊥PC，∠P=45°，
∴△OPC是等腰直角三角形，
∴PC=OC=5cm，∠AOC=45°，
∴S_△OPC=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，S_扇形OAC=$\frac{45π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{25}{8}$π，
∴S_陰影=S_△OPC-S_扇形OAC=（$\frac{25}{2}$-$\frac{25}{8}$π）cm²．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定以及扇形的面積，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．