Question

5．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=2，BC=3，tan∠ADC=3．
（1）求證：DC=BC；
（2）E是梯形內(nèi)的一點，F(xiàn)是梯形外的一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）過A作DC的垂線AM交DC于M，可得四邊形ABCM是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等求出AM=3，再根據(jù)tan∠ADC=3求出DM=1，然后求出CD=3，從而得證；
（2）利用“邊角邊”證明△DEC和△BFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=CF，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ECD=∠BCF，然后求出∠ECF=90°，從而判斷出是等腰直角三角形．

解答 （1）證明：過A作DC的垂線AM交DC于M，
則四邊形ABCM是矩形，
則AM=BC=3，MC=AB=2，
又∵tan∠ADC=$\frac{AM}{DM}$=3，
∴DM=1，
∴DC=DM+MC=3，
∴DC=BC；

（2）解：△ECF是等腰直角三角形．理由如下：
∵在△DEC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{∠EDC=∠FBC}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF為等腰直角三角形．

點評 本題考查了梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，解直角三角形，準(zhǔn)確識圖確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．