Question

5．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)．交y軸與C點(diǎn)，已知拋物線的對(duì)稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)的距離之差最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，聯(lián)立對(duì)稱軸-$\frac{2a}$=1成方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，連接AC，延長(zhǎng)AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P．由三角形內(nèi)兩邊之差小于第三邊得出當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)的距離之差最大，由A、C點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，令x=1，求出y值即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=1}\\{0=9a+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x²-2x-3．
（2）假設(shè)存在，連接AC，延長(zhǎng)AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，如圖所示．

令y=0，則有x²-2x-3=0，
解得：x=-1，或x=3．
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
在對(duì)稱軸x=1上任取一定不同于點(diǎn)P的點(diǎn)P′．
由拋物線的對(duì)稱性可知：P′B=P′A，PB=PA，
P′B-P′C=P′A-P′C＜AC=PA-PC=PB-PC，
∴當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)的距離之差最大．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx-3，
∵點(diǎn)A（-1，0）在直線AC上，
∴有-k-3=0，解得：k=-3，
即直線AC的解析式為y=-3x-3．
令x=1，則y=-3×1-3=-6，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-6）．
故在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)的距離之差最大，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)以及三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）找出P點(diǎn)的位置．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由三角形三邊關(guān)系“三角形內(nèi)兩邊之差小于第三邊”判斷P點(diǎn)的位置是關(guān)鍵．