Question

11．設(shè)點(diǎn)Q到圖形W上每一個點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)Q到圖形W的距離．例如正方形ABCD滿足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么點(diǎn)O（0，0）到正方形ABCD的距離為1．
（1）如果⊙P是以（3，4）為圓心，1為半徑的圓，那么點(diǎn)O（0，0）到⊙P的距離為4；
（2）①求點(diǎn)M（3，0）到直線y=2x+1的距離；
②如果點(diǎn)N（0，a）到直線y=2x+1的距離為3，那么a的值是1±3$\sqrt{5}$；
（3）如果點(diǎn)G（0，b）到拋物線y=x²的距離為3，請直接寫出b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理可得點(diǎn)O（0，0）到⊙P的距離；
（2）①過點(diǎn)M作MH⊥l，垂足為點(diǎn)H，通過證明△EOF∽△MHE，由相似三角形的性質(zhì)可得$MH=\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$，從而得到點(diǎn)M到直線y=2x+1的距離；
②分兩種情況：N在F點(diǎn)的上邊；N在F點(diǎn)的下邊；進(jìn)行討論先得到EN的長，進(jìn)一步即可得到a的值；
（3）分兩種情況：①點(diǎn)G在原點(diǎn)下面；②點(diǎn)G在原點(diǎn)上面；進(jìn)行討論即可得到b的值．

解答 解：（1）OP=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
點(diǎn)O（0，0）到⊙P的距離為5-1=4；
（2）①直線y=2x+1記為l，如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥l，垂足為點(diǎn)H，
設(shè)l與x，y軸的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則$E（-\frac{1}{2}，0），F(xiàn)（0，1）$．
∴$EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∵△EOF∽△EHM，
∴$\frac{MH}{OF}=\frac{ME}{EF}$，即$\frac{MH}{1}=\frac{{\frac{7}{2}}}{{\frac{{\sqrt{5}}}{2}}}$．
∴$MH=\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$．
∴點(diǎn)M到直線y=2x+1的距離為$\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$．
②N在F點(diǎn)的上邊，如圖2，過點(diǎn)N作NG⊥l，垂足為點(diǎn)G，
∵△EOF∽△NGF，
∴$\frac{NG}{EO}$=$\frac{NF}{EF}$，即$\frac{3}{\frac{1}{2}}$=$\frac{a-1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$，
∴a=1+3$\sqrt{5}$；
N在F點(diǎn)的下邊，
同理可得a=1-3$\sqrt{5}$；
故$a=1±3\sqrt{5}$．
（3）①點(diǎn)G在原點(diǎn)下面，b=-3；
②點(diǎn)G在原點(diǎn)上面，$\sqrt{{x}^{2}+（{{x}^{2}-b）}^{2}}$=3，
x⁴+（1-2b）x²+b²-9=0，
△=（1-2b）²-4（b²-9）=-4b+37=0，
解得$b=\frac{37}{4}$．
故b的值是-3或$\frac{37}{4}$．
故答案為：4；1±3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，根與判別式的關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離公式，方程思想，分類思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．