Question

10．如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連接EC，連結(jié)AP并延長(zhǎng)AP交CD于F點(diǎn)，連接BP，交CE于點(diǎn)H．
（1）若∠PBA：∠PBC=1：2，判斷△PBC的形狀并說(shuō)明；
（2）求證：四邊形AECF為平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形得出∠ABC=90°，求出∠OBC=60°，根據(jù)折疊得出PC=BC，根據(jù)等邊三角形的判定得出即可；
（2）根據(jù)折疊得出BE=PE，求出∠1=∠2，求出AE=PE，推出∠3=∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠2+∠3=90°，求出AF∥CE，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可．

解答 （1）解：△PBC是等邊三角形，
理由是：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠PBA：∠PBC=1：2，
∴∠OBC=60°，
∵沿EC對(duì)折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，
∴PC=BC，
∴△PBC是等邊三角形；

（2）證明：
∵根據(jù)折疊得出△EBC≌△EPC，
∴BE=PE，
∴∠1=∠2，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴BE=AE，
∴AE=PE，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴BP⊥AF，
∵對(duì)折矩形ABCD，
∴BP⊥CE，
∴AF∥CE，
∵根據(jù)矩形ABCD得：AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定，平行四邊形的判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．