Question

11．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，PF∥BC交AB于F，連接PQ交AB于D．
（1）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)始終保持不變，試求出ED的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=$\frac{1}{2}$QC，即6-x=$\frac{1}{2}$（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直線AB于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，可得出DE=3．

解答 解：（1）∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
設(shè)AP=x，則PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=$\frac{1}{2}$QC，即6-x=$\frac{1}{2}$（6+x），解得x=2，
∴AP=2；

（2）作QG⊥AB，交直線AB于點(diǎn)G，連接QE，PG，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DGQ=∠AEP=90°，
∵點(diǎn)P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠GBQ=60°，
在△APE和△BQG中，
∵∠AEP=∠BGQ=90°，
∴∠APE=∠BQG，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BGQ}\\{∠A=∠GBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQG（AAS），
∴AE=BG，PE=QG且PE∥QG，
∴四邊形PEQG是平行四邊形，
∴DE=$\frac{1}{2}$EG，
∵EB+AE=BE+BG=AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，
∴DE=3，
故運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)始終為3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．