Question

20．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、B重合），過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以B、C、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）設(shè)P（m，0），則E（m，-m²+2m+3），求得PE=-m²+2m+3，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，求得F的坐標(biāo)，求得PF=-m+3，即可求得EF=-m²+3m，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得-m²+3m=2，從而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)B、C的坐標(biāo)求得BC的長，然后依據(jù)題意應(yīng)用勾股定理即可求得M的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）如圖1，設(shè)P（m，0），
∵點(diǎn)E是拋物線上的點(diǎn)，
∴E（m，-m²+2m+3），
∴PE=-m²+2m+3，
把x=0代入y=-x²+2x+3得：y=3，
∴C（0，3），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴線BC的解析式為y=-x+3，
∵點(diǎn)F在直線BC上，
∴PF=-m+3
∴EF=PE-PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
若四邊形ODEF是平行四邊形，則EF=OD=2，
∴-m²+3m=2，
解得，m₁=1，m₂=2，
∴當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）；
（3）存在；
理由：如圖2，∵拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
∴對(duì)稱軸x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵M(jìn)在直線x=1上，
∴設(shè)M（1，n），
①當(dāng)BM=BC=3$\sqrt{2}$，
∴（3-1）²+（0-n）²=（3$\sqrt{2}$）²，
∴n=$\sqrt{14}$，或n=-$\sqrt{14}$，
②當(dāng)CM=BC=3$\sqrt{2}$，
∴1²+（3-n）²=（3$\sqrt{2}$）²，
∴n=3+$\sqrt{17}$，或n=3-$\sqrt{17}$，
③當(dāng)CM=BM時(shí)，
∴（3-1）²+（0-n）²=1²+（3-n）²，
∴n=1．
綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{14}$）或（1，-$\sqrt{14}$）或（1，3+$\sqrt{17}$）或（1，3-$\sqrt{17}$）或（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式以及解析式的對(duì)稱軸，勾股定理的應(yīng)用以及等腰三角形的性質(zhì)等，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)依據(jù)函數(shù)的解析式求得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．