Question

5．同學(xué)們，在數(shù)學(xué)課本第9章《整式乘法與因式分解》里學(xué)習(xí)了整式乘法的完全平方公式，還記得它是如何被發(fā)現(xiàn)的嗎？

【蘇科版教材P75頁(yè)】計(jì)算如圖1的面積，把圖1看做一個(gè)大正方形，它的面積是 （a+b）²，如果把圖1看做是由2個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為a²+2ab+b²，由此得到：（a+b）²=a²+2ab+b²．
【類比探究（1）】：
如圖2，正方形ABCD是由四個(gè)邊長(zhǎng)分別是a，b的長(zhǎng)方形和中間一個(gè)小正方形組成的，對(duì)圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，
你發(fā)現(xiàn)的式子是（a+b）²=（a-b）²+4ab （用a，b表示）應(yīng)用探索結(jié)果解決問(wèn)題：
已知：兩數(shù)x，y滿足x+y=7，xy=6，求x-y的值．
【類比探究（2）】：
如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是c，它由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是a，b的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，
對(duì)圖3的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的式子是a²+b²=c²（用a，b，c表示，結(jié)果盡可能化簡(jiǎn)）
應(yīng)用探索結(jié)果解決問(wèn)題：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是c，它由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是a，b的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，當(dāng)a²=3x，b²=$\frac{10}{3}$y時(shí)，c=4；當(dāng)a²=$\frac{3}{2}$x，b²=2y時(shí)，c=3，求x，y的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形ABCD的面積=（a+b）²，正方形ABCD的面積（a-b）²+4ab，即可得出（a+b）²=（a-b）²+4ab；據(jù)此可得x-y的值．
（2）根據(jù)正方形ABCD的面積=c²，正方形ABCD的面積（a-b）²+4×$\frac{1}{2}$ab，即可得出a²+b²=c²，據(jù)此可得關(guān)于x，y的方程組，求得x，y的值．

解答 解：（1）如圖2，正方形ABCD的面積=（a+b）²，
正方形ABCD的面積（a-b）²+4ab，
∴（a+b）²=（a-b）²+4ab；
∵（x+y）²=（x-y）²+4xy，且x+y=7，xy=6，
∴49=（x-y）²+24，
即（x-y）²=25，
∴x-y的值為±5．
故答案為：（a+b）²=（a-b）²+4ab；

（2）如圖3，正方形ABCD的面積=c²，
正方形ABCD的面積（a-b）²+4×$\frac{1}{2}$ab，
∴c²=（a-b）²+4×$\frac{1}{2}$ab，
即a²+b²=c²，
∵當(dāng)a²=3x，b²=$\frac{10}{3}$y時(shí)，c=4；當(dāng)a²=$\frac{3}{2}$x，b²=2y時(shí)，c=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{10}{3}y=16}\\{\frac{3}{2}x+2y=9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$．
故答案為：a²+b²=c²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了完全平方公式的幾何背景以及解二元一次方程組，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用面積法得出完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²．解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．