Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與P點(diǎn)相同，經(jīng)過(guò)3s后，△BPD與△CQP是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與P點(diǎn)不相同，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（3）若點(diǎn)Q以（2）中的速度從C點(diǎn)出發(fā)，P點(diǎn)以原來(lái)的速度從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都沿△ABC三邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，P點(diǎn)與Q點(diǎn)第一次在△ABC的什么位置上相遇？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)題意BP=3，CQ=3，求出BD=CP=5，再由∠B=∠C，即可證明△BPD≌△CQP；
（2）分類討論：①當(dāng)BP=CP時(shí)，②當(dāng)BP=CQ時(shí)，分別求出t的值即可得出結(jié)果；
（3）兩點(diǎn)相遇時(shí)，路程差為10+10，即可求出時(shí)間t的值．

解答：解：（1）經(jīng)過(guò)3秒后，△BPD≌△CQP；此時(shí)BP=3，CQ=3，
∵D是AB的中點(diǎn)，AB=AC=10，BC=8，
∴BD=5，CP=8-3=5，∠B=∠C，
∴BP=CQ，BD=CP，
在△BPD和△CQP中，

BP=CQ   ∠B=∠C   BD=CP

 
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）∵∠B=∠C，
∴PD與PQ是對(duì)應(yīng)邊，
若△BPD≌△CQP，設(shè)點(diǎn)Q的速度為xcm/s，時(shí)間為t秒；
分兩種情況：①當(dāng)BP=CP時(shí)，CQ=BD=5，
∵BC=8，
∴BP=4，t=4，
∴x=5÷4=

5

4

；
②當(dāng)BP=CQ時(shí)，xt=t，x=1，不合題意；
綜上所述：Q的運(yùn)動(dòng)速度為

5

4

cm/s時(shí)，△BPD≌△CQP；
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，兩點(diǎn)第一次相遇；根據(jù)題意得：

5

4

t-t=10+10，
解得：t=80，
∵80÷（10+10+8）=3…16，
即經(jīng)過(guò)100秒，P點(diǎn)與Q點(diǎn)第一次在AB邊上距離B點(diǎn)4cm處相遇．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定方法；特別是利用分類討論的方法討論三角形全等的情況，培養(yǎng)學(xué)生綜合解題的能力．