Question

如圖，△ABC中，AB=AC，P是BC上一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
（1）求證：PD+PE=BF；
（2）當點P在BC的延長線上時，試探究PD、PE、BF之間的數量關系．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）連接AP，根據等腰三角形的性質可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△APC=

1

2

×AC×（PD+PE），同時可表示出S_△ABC=

1

2

AC•BF，從而可得到PD+PE=BF．
（2）BF+PE=PD，根據S_△ABP=S_△ABC+S_△APC進行推理，證法同（1）．

解答：（1）證明：連接AP．
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE
=

1

2

×AC×（PD+PE），
又∵S_△ABC=

1

2

AC•BF
∴PD+PE=BF；
（2）解：BF+PE=PD．
連接AP．
∵AB=AC，
∴S_△ABP=S_△ABC+S_△APC
=

1

2

AC•BF+

1

2

AC•PE
=

1

2

AC•（BF+PE）
=

1

2

AB•（BF+PE）
∵S_△ABP=

1

2

AB•PD，
∴BF+PE=PD．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質及三角形面積的綜合運用，此題的關鍵是利用面積公式將所求聯系在一起．