Question

6．如圖，直線y=k₁x+b與雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于A（1，2），B（m，-1）兩點．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）若A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）為雙曲線上的三點，且x₁＜x₂＜0＜x₃，請直接寫出y₁，y₂，y₃的大小關系式；
（3）直線AB交x軸、y軸于點D、C，證明：△AOC≌△BOD．

Answer 1

分析 （1）先將A點代入雙曲線后求出k₂，再由雙曲線求出B的坐標，再利用A、B兩點的坐標求出直線y=k₁x+b的解析式；
（2）利用函數(shù)圖象即可求出y₁，y₂，y₃的大小關系式；
（3）利用勾股定理可求出OA=OB，進而得出∠DBO=∠CAO，易證直線AB與x軸的夾角為45°，所以△AOC≌△BOD．

解答 解：（1）把A（1，2）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$，
∴k₂=2，
∴雙曲線為y=$\frac{2}{x}$，
把B（m，-1）代入y=$\frac{2}{x}$，
∴m=-1，
∴B（-2，-1），
把A（1，2）和B（-2，-1）代入y=k₁x+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2={k}_{1}+b}\\{-1=-2{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴直線為：y=x+1，
（2）由圖象可知：y₂＜y₁＜y₃；
（3）令x=0代入y=x+1，
∴y=1，
∴C（0，1），
令y=0，代入y=x+1，
∴x=-1，
∴D（-1，0），
∴OD=OC，
∴∠CDO=∠DCO=45°，
∴∠BDO=∠ACO，
∵A（1，2），B（-2，-1），
∴OA=OB，
∴∠DBO=∠CAO，
在△AOC與△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCA=∠ODB}\\{∠OAC=∠OBD}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD

點評 本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求解析式，勾股定理，全等三角形的判定，函數(shù)圖象的性質(zhì)等知識，綜合程度較高．