Question

16．（1）如圖①，點M為ABCD內(nèi)一點，請過點M作一條直線將ABCD的面積二等分；
（2）如圖②，點P為∠AOB內(nèi)一點，過點P作直線分別交∠AOB的兩邊于M、N．小明認(rèn)為當(dāng)點P為MN的中點時（如圖②）時，△OMN的面積最小，你認(rèn)為小明的說法正確嗎？如果正確請給予證明：如果不正確，請說明理由．
（3）如圖③，∠AOB=α（0°＜α＜180°），點P為∠AOB內(nèi)一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，PC=3，PD=2，過點P作直線分別交∠AOB的兩邊于M、N，并將△OMN的面積最小記為S，試探究：在∠α變化過程中S是否存在最小值？如果存在，請求出S的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC、BD交于點O，作直線EO，直線EO將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分；
（2）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點P是MN的中點時S_△MON最小，如圖2；
（3）如圖③中，作PH∥OM交OB于H．因為P是MN中點時，面積最小，推出PM=PN，推出ON=HN，推出OM=2PH，推出當(dāng)MO⊥OB時，點H與D重合，此時OM=2PD=4此時OM最小，同理可知，此時ON=2PC=6，此時ON的值最小，由此即可解決問題；

解答 解：（1）如圖①中，連接AC，BD交于O，過O，M作直線OM，則直線OM將ABCD的面積二等分；


（2）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點P是MN的中點時S_△MON最小，如圖2，

過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F，設(shè)PF＜PE，過點M作MG∥OB交EF于G，
易證△MGP≌△NFP，可以推出S_{四邊形MOFG}=S_△MON．
∵S_{四邊形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴當(dāng)點P是MN的中點時S_△MON最��；

（3）如圖③中，作PH∥OM交OB于H．

∵P是MN中點時，面積最小，
∴PM=PN，
∴ON=HN，
∴OM=2PH，
∴當(dāng)MO⊥OB時，點H與D重合，此時OM=2PD=4，此時OM最小，
同理可知，此時ON=2PC=6，此時ON的值最小，
∴△OMN的面積最小值=$\frac{1}{2}$×4×6=12．

點評 本題考查三角形綜合題、三角形面積問題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．