Question

2．對x，y定義一種新運算T，規(guī)定：T（x，y）=ax+2by-1（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1-1=2b-1．
（1）已知T（1，-1）=-2，T（4，2）=3．
①求a，b的值；
②若關(guān)于m的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{T（2m，5-4m）≤4}\\{T（m，3-2m）＞p}\end{array}\right.$恰好有2個整數(shù)解，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）若T（x，y）=T（y，x）對任意實數(shù)x，y都成立（這里T（x，y）和T（y，x）均有意義），則a，b應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)定義的新運算T，列出二元一次方程組，解方程組求出a，b的值；
②根據(jù)（1）求出的a，b的值和新運算列出方程組求出m的取值范圍，根據(jù)題意列出不等式，解不等式求出實數(shù)p的取值范圍；
（2）根據(jù)新運算列出等式，根據(jù)x，y的系數(shù)為0，求出a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式．

解答 解：（1）①$\left\{\begin{array}{l}{a-2b-1=-2}\\{4a+4b-1=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
②$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m}{3}+\frac{4（5-4m）}{3}-1≤4}\\{\frac{m}{3}+\frac{4（3-2m）}{3}-1＞p}\end{array}\right.$，
解得$\frac{5}{14}$≤m＜$\frac{9-3p}{7}$，
因為原不等式組有2個整數(shù)解，
所以2＜$\frac{9-3p}{7}$≤3，
解得，-4≤p＜-$\frac{5}{3}$；
（2）T（x，y）=ax+2by-1，T（y，x）=ay+2bx-1，
所以ax+2by-1=ay+2bx-1，
所以（a-2b）（x-y）=0
所以a=2b．

點評 本題考查的是二元一次方程組的解法、一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的整數(shù)解的確定，掌握二元一次方程組的解法、一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．