Question

13．如圖：△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE．
（1）求證：△AEB≌△ADC；
（2）探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；
（3）如圖b所示，當點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明△AEB≌△ADC；
（2）四邊形BCGE是平行四邊形，因為△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE=∠C=60°，進而證明∠ABE=∠BAC，則可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四邊形BCGE是平行四邊形；
（3）與（1）一樣可證得△ABE≌△ADC，得到BE=CD；與（1）一樣可證得四邊形BCGE為平行四邊形，根據菱形的判定方當BC=BE時，四邊形BCGE是菱形，此時BC=CD，所以有DC=BC時，四邊形BCGE是菱形．

解答 證明：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
在△AEB和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；

（2）由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC，
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形；

（3）當點D運動到DC=BC時，四邊形BCGE是菱形．理由如下：
與（1）一樣可證得△ABE≌△ADC，則BE=CD；
與（1）一樣可證得四邊形BCGE為平行四邊形，
∴當BC=BE時，四邊形BCGE是菱形，
此時BC=CD，
即當DC=BC時，四邊形BCGE是菱形

點評 本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，解題的關鍵是能夠熟練掌握菱形的判定定理，題目的綜合性不小，難度不大．