Question

14．已知：如圖，矩形OABC，OA=6，AB=4，D是BC的中點．動點P從O 點出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿著OA、AB、BD運動．設P點運動的時間為t秒．
（1）用含有t的代數(shù)式表示△POD的面積S，并求出△POD的面積等于9時t的值；
（2）當點P在OA上運動時，連結CP．問：是否存在某一時刻t，當CP繞點P旋轉90度時，點C能恰好落到AB邊上，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）在P點的運動過程中，當t取何值時，△POC為等腰三角形（直接寫答案）；
（4）當點P在AB上運動時，試探索當PO+PD的長最短時t的值．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質得OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，然后分三種情況求解：當0＜t≤6，如圖1，OP=t，根據三角形面積公式得S=2t，再求出S=9所對應的t的值，然后寫出此時P點坐標；當6＜t≤10，如圖2，則AP=t-6，BP=10-t，利用S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD得到S=-$\frac{3}{2}$t+21，再求出S=9所對應的t的值，然后寫出此時P點坐標；當10＜t＜13，如圖3，則PB=13-t，根據三角形的面積公式求解；
（2）存在．如圖4，由△COP≌△PAE，可知PA=CO=4，OP=AE=2，AE=EB，由此即可解決問題．
（3）分三種情形考慮問題即可．①P在OA上，②P在AB上，③P在BC上．
（4）如圖5中，作點O關于AB所在直線對稱的點的坐標后連接點O的對稱點和點D與AB的交點即為點P，由DB∥AO′，$\frac{DB}{AO′}$=$\frac{PB}{AP}$，列出方程求出PA即可．

解答 解：（1））∵矩形OABC的頂點A（6，0）、B（6，4），D是BC的中點，
∴OA=BC=6，CD=BD=3，AB=4，
當點P在OA上運動時，即0＜t≤6，如圖1，

OP=t，S=$\frac{1}{2}$•t•4=2t；

∵S=9，
∴2t=9，解得t=4.5，
當點P在AB上運動時，即6＜t≤10，如圖2

，AP=t-6，BP=10-t，S=S_矩形ABCD-S_△OCD-S_△OAP-S_△BPD
=4×6-$\frac{1}{2}$•4×3-$\frac{1}{2}$•6•（t-6）-$\frac{1}{2}$•3•（10-t）
=-$\frac{3}{2}$t+21；
∵S=9，
∴-$\frac{3}{2}$t+21=9，解得t=8，
當點P在BD上運動時，即10＜t＜13，如圖3，

PB=13-t，S=$\frac{1}{2}$•（13-t）•4=-2t+26；
∵S=9，
∴-2t+26=9，解得t=7.5（不合題意舍去）；
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{2t}&{（0＜t≤6）}\\{-\frac{3}{2}t+21}&{（6＜t≤10）}\\{-2t+26}&{（10＜t＜13）}\end{array}\right.$，當t=4.5s或8s時，△POD的面積等于9．

（2）存在．如圖4，

由△COP≌△PAE，可知PA=CO=4，
∴OP=AE=2，
∴AE=EB，
∴當t=2s時，當CP繞點P旋轉時，點C能恰好落到AB的中點處．

（3）①當P在OA上時，OP=OC=4，t=4s．
②當P在AB上時，PC=PC，t=6+2=8s．
③當P在BC上時，CO=CP，t=6+4+2=12s．
綜上所述，t=4s或8s或12s時，△POC是等腰三角形．

（4）如圖5中，點O關于直線AB的對稱點的坐標為O′，連接O′D交AB于點P，此時PD+PO最短；

∵DB∥AO′，
∴$\frac{DB}{AO′}$=$\frac{PB}{AP}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{4-PA}{PA}$，
∴PA=$\frac{8}{3}$，
∴t=6+$\frac{8}{3}$=$\frac{26}{3}$．

點評 本題考查了四邊形的綜合題，熟練掌握矩形的性質和旋轉的性質；會利用勾股定理和三角形的面積公式進行幾何計算；理解坐標與圖形的性質；學會解決有關動點的問題，屬于中考壓軸題．