Question

12．如圖，矩形OABC，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸正半軸上，直線y=-x+6交邊BC于點(diǎn)M（m，n）（m＜n），并把矩形OABC分成面積相等的兩部分，過(guò)點(diǎn)M的雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交邊AB于點(diǎn)N．若△OAN的面積是4，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 由反比例函數(shù)性質(zhì)求出S_△OCM=S_△OAN=4，得到mn=8，根據(jù)點(diǎn)M（m，n）在直線y=-x+6上，得到-m+6=n，聯(lián)立解方程組，得m、n的值，再根據(jù)直線y=-x+6分矩形OABC面積成相等的兩部分，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，由S_△OMN=S_矩形OABC-S_△OCM-S_△BMN-S_△OAN計(jì)算即可．

解答 解：∵點(diǎn)M、N在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴S_△OCM=S_△OAN=4，
∴$\frac{1}{2}$mn=4，
∴mn=8，
∵點(diǎn)M（m，n）在直線y=-x+6上，
∴-m+6=n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=8}\\{-m+6=n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=2}\end{array}\right.$（舍去）
∵直線y=-x+6分矩形OABC面積成相等的兩部分，
∴直線y=-x+6過(guò)矩形OABC的中心，
設(shè)B（a，4）
∴E（$\frac{a}{2}$，2）
∴-$\frac{a}{2}$+6=2
∴a=8，
∴OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，
∴S_△OMN=S_矩形OABC-S_△OCM-S_△BMN-S_△OAN=32-4-9-4=15．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用、待定系數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合思想，求出m、n的值以及點(diǎn)B的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．