Question

2．如圖，在正方形ABCD中，直角∠EAF的頂點(diǎn)與A重合，角的兩邊與CB的延長線、CD分別交于E、F兩點(diǎn)，連接BF，直線BF與直線AE和對角線AC分別交于P、Q兩點(diǎn)．若四邊形AECF的面積為9，AF=$\sqrt{10}$，則PQ=$\frac{36\sqrt{13}}{35}$．

Answer 1

分析 延長AD與PF交于H點(diǎn)，易證△ABE≌△ADF，則四邊形AECF的面積=正方形ABCD的面積=9，可求得正方形的邊長，根據(jù)勾股定理求出DF=BE，進(jìn)而求出CF、BF，然后由△DFH∽△CFB，求出DH，再由△PEB∽△PAH，求出PE，根據(jù)勾股定理計(jì)算出PF，再由△CFQ∽△ABQ，求出QF，即可求出PQ．

解答 解：如圖，延長AD與PF交于H點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是正方形，∠EAF=90°，
則△ABE≌△ADF，
∴四邊形AECF的面積=正方形ABCD的面積=9，
∴AB=BC=CD=AD=3，
∵AF=$\sqrt{10}$，
∴DF=BE=1，
∴CF=2，BF=$\sqrt{13}$，
∵BC∥AD，
∴△DFH∽△CFB，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{DH}{BC}$，
∴DH=$\frac{3}{2}$，
又∵△PEB∽△PAH，
∴$\frac{PE}{PA}=\frac{BE}{AH}$，
∴$\frac{PE}{PE+\sqrt{10}}=\frac{1}{3+\frac{3}{2}}$，
∴PE=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$，
在Rt△APF中
PF=$\sqrt{A{P}^{2}+A{F}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{13}}{7}$，
又∵△CFQ∽△ABQ，
∴$\frac{CF}{AB}=\frac{FQ}{BQ}=\frac{2}{3}$，
∴FQ=$\frac{2}{5}$BF=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$，
∴PQ=PF-FQ=$\frac{10\sqrt{13}}{7}$-$\frac{2\sqrt{13}}{5}$=$\frac{36\sqrt{13}}{35}$．
故答案為：$\frac{36\sqrt{13}}{35}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了等積變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合運(yùn)用，難度較大，意識到求PQ，要先求出PF和QF是解決問題的關(guān)鍵．