Question

13．設(shè)a為有理數(shù)，x為無理數(shù)，證明：（1）a+x是無理數(shù)；（2）當(dāng)a≠0時(shí)，ax是無理數(shù)．

Answer 1

分析 利用反證法，結(jié)合任何有理數(shù)都可以表示成$\frac{q}{p}$的形式（p，q都是整數(shù)），反過來也一樣，任何形如$\frac{q}{p}$（p，q都是整數(shù)）的數(shù)都是有理數(shù)，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）任何有理數(shù)都可以表示成$\frac{q}{p}$的形式（p，q都是整數(shù)），反過來也一樣，任何形如$\frac{q}{p}$（p，q都是整數(shù)）的數(shù)都是有理數(shù)，
∵a為有理數(shù)，
∴a=$\frac{q}{p}$．
如果a+x是有理數(shù)，那么a+x=$\frac{q′}{p′}$，x=$\frac{q′}{p′}$-a=$\frac{q′}{p′}$-$\frac{q}{p}$=$\frac{pq′-qp′}{pp′}$，
那么x是有理數(shù)，這與x為無理數(shù)矛盾，
所以a+x為無理數(shù)；

（2）如果ax是有理數(shù)，那么ax=$\frac{q′}{p′}$，x=$\frac{pq′}{qp′}$
所以x是有理數(shù)，這與x為無理數(shù)矛盾，
所以當(dāng)a≠0時(shí)，ax為無理數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用反證法是關(guān)鍵．