Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E為AB上任意一動點，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，下列說法：
①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD的面積有最大值，且最大值為

3

2

．
其中，正確的結論是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：首先根據已知條件看能得到哪些等量條件，然后根據得出的條件來判斷各結論是否正確．

解答：解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=

2

2

BC=

2

，CD=DE=

2

2

CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正確；
②當B、E重合時，A、D重合，此時DE⊥AC；
當B、E不重合時，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，則∠AFE、∠DFC必為銳角；
故②不完全正確；
④∵

CD

EC

=

AC

BC

=

2

2

，∴

CD

AC

=

CE

BC

；
由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正確；
③由④知：∠DAC=45°，則∠EAD=135°；
∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；
∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；
因此△EAD與△BEC不相似，故③錯誤；
⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長最大；
由④的△BEC∽△ADC知：當AD最長時，BE也最長；
故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=

2

，AD=1；
故S_梯形ABCD=

1

2

（1+2）×1=

3

2

，故⑤正確；
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，利用了等腰直角三角形的性質，平行線的判定，相似三角形的判定與性質，題目難度較大．