Question

1．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中點(diǎn)，P，Q分別在AB，BC上（P，Q與A，B，C都不重合），OP⊥OQ，OS⊥AQ交AB于S．下列結(jié)論：①BQ=BS；②PA=QB；③S是PB的中點(diǎn)；④$\frac{CQ}{PS}$的值為定值．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 由Q是邊長BC上的動點(diǎn)，得出①不正確；
由等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠OAP=∠BOQ=∠C=∠ABO=∠OBQ=45°，OB=$\frac{1}{2}$AC=OA=OC，∠AOB=90°，證出∠AOP=∠BOQ，由ASA證明△AOP≌△BOQ，得出AP=BQ，OP=OQ，②正確；
過O作OM∥BC，則∠MOQ=∠OQC，證明B，P，O，Q四點(diǎn)共圓，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠OQC=∠SPO=∠MOQ，證出∠POS=∠OQA，由ASA證明△POS≌△OQM，得出PS=OM，證明OM是△AQE的中位線，得出OM=$\frac{1}{2}$CQ，得出④正確；
同理證出△BOP≌△COQ，得出PB=CQ，得出PS=$\frac{1}{2}$PB，③正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵Q是邊長BC上的動點(diǎn)，
∴①不正確；
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中點(diǎn)，
∴∠OAP=∠BOQ=∠C=∠ABO=∠OBQ=45°，OB=$\frac{1}{2}$AC=OA=OC，∠AOB=90°，
∵OP⊥OQ，
∴∠POQ=90°，
∴∠AOP=∠BOQ，
在△AOP和△BOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠BOQ}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\\{∠OAP=∠OBQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOQ（ASA），
∴AP=BQ，OP=OQ，②正確；
過O作OM∥BC，交AQ于M，如圖所示：
∴∠MOQ=∠OQC，
∵∠ABC=∠POQ=90°，
∴B，P，O，Q四點(diǎn)共圓，
∴∠OQC=∠SPO=∠MOQ，
∵OS⊥AQ，
∴∠OQA+∠QOS=90°，
∵∠POS+∠QOS=90°，
∴∠POS=∠OQA，
在△POS與△OQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POS=∠OQA}&{\;}\\{OQ=OP}&{\;}\\{∠MOQ=∠SPO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△POS≌△OQM（ASA），
∴PS=OM，
∵AO=OC，
∴OM是△AQC的中位線，
∴OM=$\frac{1}{2}$CQ，
∴PS=$\frac{1}{2}$CQ，
∴$\frac{CQ}{PS}$=2，④正確；
∵△AOP≌△BOQ，同理：△BOP≌△COQ，
∴PB=CQ，
∴PS=$\frac{1}{2}$PB，
即S是PB的中點(diǎn)，③正確；
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、四點(diǎn)共圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．