Question

5．在矩形ABCD中，E為線段BC上一點，點B關(guān)于AE的對稱點為F，連接AF，G為BC延長線上一點，且DG=DA，射線EF交射線GD于點P．
（1）如圖1，當(dāng)點P在線段GD上時，求證：PF=CG+DP；
（2）如圖2，當(dāng)點P在線段GD的延長線上時，直接寫出線段PF、CG、DP之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AF，在射線FP上截取FM=CG，連接AM、DM，先證明△AFM≌△DCG，再證明PD=PM即可．
（2）結(jié)論：PF=CG-PD．如圖2中，連接AF，在射線FP上截取FM=CG，連接AM、DM，先證明△AFM≌△DCG，再證明PD=PM即可．

解答 （1）證明：如圖1中，連接AF，在射線FP上截取FM=CG，連接AM、DM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，AD∥BC，
∵B、E關(guān)于AE對稱，
∴AB=AF，∠B=∠AFE=∠AFM=90°，
∴∠AFM=∠DCG=90°，AF=DC，
在△AFM和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DC}\\{∠AFM=∠DCG}\\{FM=CG}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△DCG，
∴∠DGC=∠AMF，AM=DG=AD，
∴∠ADM=∠AMD，
∵AD∥BG，
∴∠ADG+∠DGC=180°，
∵∠AMF+∠AMP=180°，
∴∠ADG=∠AMP，
∴∠PDM=∠PMD，
∴PD=PM，
∴PF=FM+PM=CG+PD．
（2）結(jié)論：PF=CG-PD．
證明：如圖2中，連接AF，在射線FP上截取FM=CG，連接AM、DM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，AD∥BC，
∵B、E關(guān)于AE對稱，
∴AB=AF，∠B=∠AFE=∠AFM=90°，
∴∠AFM=∠DCG=90°，AF=DC，
在△AFM和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DC}\\{∠AFM=∠DCG}\\{FM=CG}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△DCG，
∴∠DGC=∠AMF，AM=DG=AD，
∴∠ADM=∠AMD，
∵∠ADP+∠CDG=90°，∠CDG+∠CGD=90°，
∴∠ADP=∠DGC=∠AMP，
∴∠PDM=∠PMD，
∴PD=PM，
∴PF=FM-PM=CG-PD．

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會添加輔助線的方法截長補短法，屬于中考�？碱}型．