Question

6．如圖，已知點A是雙曲線y=$\frac{4}{x}$第一象限的分支上的一個動點，連結(jié)AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊△ABC，點C在第四象限．隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上運動，則k的值是-12．

Answer 1

分析 連接OC，易證AO⊥OC，OC=$\sqrt{3}$OA．由∠AOC=90°想到構(gòu)造K型相似，過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，可證△AEO∽△OFC．從而得到OF=$\sqrt{3}$AE，F(xiàn)C=$\sqrt{3}$EO．設點A坐標為（a，b），則ab=4，可得FC•OF=6．設點C坐標為（x，y），從而有FC•OF=-xy=-12，即k=xy=-12．

解答 解：∵雙曲線y=$\frac{4}{x}$關(guān)于原點對稱，
∴點A與點B關(guān)于原點對稱．
∴OA=OB．
連接OC，如圖所示．
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB，∠BAC=60°，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$OA．
過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF，
∴△AEO∽△OFC．
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{EO}{FC}$=$\frac{AO}{OC}$．
∵OC=$\sqrt{3}$OA，
∴OF=$\sqrt{3}$AE，F(xiàn)C=$\sqrt{3}$EO．
設點A坐標為（a，b），
∵點A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$a，F(xiàn)C=$\sqrt{3}$EO=$\sqrt{3}$b．
∵點A在雙曲線y=$\frac{4}{x}$上，
∴ab=4．
∴FC•OF=$\sqrt{3}$b•$\sqrt{3}$a=3ab=12，
設點C坐標為（x，y），
∵點C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FC•OF=x•（-y）=-xy=12．
∴xy=-12．
∵點C在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=xy=-12．
故答案為：-12．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、點與坐標之間的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值等知識，有一定的難度．由∠AOC=90°聯(lián)想到構(gòu)造K型相似是解答本題的關(guān)鍵．．