Question

1．已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連結(jié)AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=13cm，△ABF的周長為30cm，求△ABF的面積；
（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE²=AC•AP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EF交AC于點O，由折疊的性質(zhì)得出EF垂直平分AC，OA=OC，由矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA證明△AOE≌△COF，得出OE=OF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AF=AE=13cm，設(shè)AB=xcm，BF=ycm，由勾股定理得出x²+y²=169①，由三角形的周長得出x+y=17cm，因此（x+y）²=289②，由①、②得出xy=60，△ABF的面積=$\frac{1}{2}$AB×BF=$\frac{1}{2}$xy，即可得出結(jié)果；
（3）過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．則∠AEP=90°，證出△AOE∽△AEP，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{AE}{AP}=\frac{AO}{AE}$，則AE²=AO•AP，再由$AO=\frac{1}{2}AC$，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連結(jié)EF交AC于點O，如圖1所示：
當(dāng)頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形；
（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=13cm，
設(shè)AB=xcm，BF=ycm，
∵∠B=90°，
∴x²+y²=169 ①，
又∵△ABF的周長為30cm，
∴x+y+AF=30cm，
∴x+y=17cm，
∴（x+y）²=289②，
由①、②得：xy=60，
∴△ABF的面積=$\frac{1}{2}$AB×BF=$\frac{1}{2}$xy=30（cm²）．
（3）解：存在，如圖2，過E作EP⊥AD交AC于P，則P就是所求的點．理由如下：
由作法得：∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，
又∵∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴$\frac{AE}{AP}=\frac{AO}{AE}$，則AE²=AO•AP，
∵$AO=\frac{1}{2}AC$，
∴$A{E^2}=\frac{1}{2}AC•AP$．
∴2AE²=AC•AP．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明四邊形是菱形和證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．